1.3. Автомодельная обработка и приближение "замороженной формы": упрощенная модель ограничения пика по высоте - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен

Автомодельные решения, однако, неспособны объяснить, почему прекращается рост пика. Общие слова о том, что "диссипация рост прекращает" неудовлетворительны. Как уже говорилось, решение остается почти автомодельным и в начале фазы распада, а следовательно, диссипация, которая должна была бы ограничивать "остроту" пика и делать решение неавтомодельным, существенной роли не играет. Поэтому нужен какой-либо иной механизм, зависящий от членов ~ . Качественно описать нужный эффект помогла приближенная модель, которую мы назвали приближение замороженной формы пика.

Для численно построенных профилей w(x,t) можно произвести автомодельную обработку. Пусть максимум |w(x,t)| расположен в некоторой точке x0. Введем обозначения

и рассмотрим профиль . Оказывается, что во время роста и начала распада пика профили вблизи его центра и вплоть до » 3¸5 практически не меняют своей формы и близки к автомодельному виду. В то же время аналог величины a (, где – фаза w(x,t)) в момент начала распада пика резко изменяет знак. Поэтому можно предположить, что эволюция пика связана не с изменением формы, а с изменениями амплитуды, полуширины и фазы. Попытаемся построить приближенную модель, основанную на следующих предположениях.

Будем считать, что форма профиля остается практически постоянной в перенормированных координатах, т.е. w(x,t) » g(t)R() (для строго автомодельных профилей , но мы оставим профилю возможность отклоняться от автомодельного решения по высоте при сохранении формы), а фаза имеет тот же вид, что и для автомодельного случая: (,t) = b(t) + c(t) – a(t)2/4. Анализ реальных профилей для высоких пиков показал, что эти предположения вполне оправданны. Более того, чтобы упросить выкладки, положим c(t) = 0, это означает, что максимум пика не движется.

Подставим теперь в уравнения (2) w(x,t) = L–1/2(t)R()e(,t):

или

По очереди умножим эти уравнения сначала на R, затем на ‑2R' и проинтегрируем по  от ‑¥ до ¥. Для удобства введем обозначения In = òRnd, S2 = ò2R2d, J = ò(R')2d, G = ò2(R')2d. Будем полагать, что R убывает при || ® ¥ по крайней мере экспоненциально, так что подстановки вида обращаются в 0. Кроме того, профиль мы считаем симметричным с хорошей точностью, а потому интегралы с нечетным подынтегральным выражением будем отбрасывать. Интегрированием по частям несложно получить, что ‑2òRR'd = I2, ‑2ò2RR'd = 3S2, ‑2òR''R'd = J, ‑2òR5R'd = I6/3.

Удобно также сделать замену времени t ® , т.е. . Тогда из первого уравнения получим

а из второго

Заметим, что g входит в правые части полученных уравнений только в комбинации  = g2L. В случае автомодельного решения эта комбинация представляет собой сохраняющуюся величину и пропорциональна "массе" пика. Теперь она может изменяться и можно получить уравнение для ее изменения используя уравнения для g и L.

После несложных преобразований получается следующая система для основных параметров

Оказалось, что члены, обозначенные как O(), для качественного анализа несущественны и их можно не учитывать. Смысл входящих в уравнения переменных таков: L – полуширина пика,  – его масса, величина a характеризует вторую производную фазы вблизи вершины пика.

Таким образом, получается следующая качественная картина эволюции пика. В результате процессов, не описываемых данным приближением, формируются начальные условия, когда a > 0, а масса пика  > 0. Тогда для a получаем фактически автомодельное уравнение, в котором параметр  » I6(02‑2) / 3S2 < 0. Однако эта величина медленно нарастает со временем согласно второму уравнению, масса медленно убывает. Начинается рост пика практически по автомодельному закону, L быстро уменьшается, а a медленно убывает до тех пор, пока  не перейдет через критическое значение 0. После этого a меняет знак и начинает быстро убывать. Столь же быстро начинает расплываться и сам пик, и вскоре начинает меняться его форма, после чего приведенный анализ становится неприменим – пик "размораживается".

Заметим, что можно несколько усложнить исследование, добавив в соотношение для фазы линейный член (который считался нулевым) и разрешив вершине пика перемещаться. Для этого необходимо получить дополнительную пару приближенных уравнений, умножая исходные уравнения на ‑2R и интегрируя их как обычно. Однако никаких принципиально новых качественных выводов это не дает, за исключением того, что можно показать, что при малых a2 коэффициент при линейном члене должен убывать, а пик, следовательно, симметризоваться.

Результаты данного раздела позволяют сделать ряд выводов и предположений.

1. Уравнение (2) обладает очень интересным механизмом остановки роста пика. Члены порядка  обеспечивают не столько диссипацию энергии пика, сколько нечто вроде "обращения времени", разворачивающего рост пика вспять. Образно говоря, система оказывается снабжена не "тормозами", а "рулем". Непонятно, насколько общим мог бы быть подобный механизм управления крупномасштабными событиями и в какие системы он мог бы быть "встроен".

2. На этапе развития пика, когда фон можно считать замороженным, а рост пика описать довольно простой моделью, в системе на короткое время появляется небольшое число "параметров порядка", a, L и . Два из них – характеристики пика, а третий может быть определен и для иных образований, в том числе и для всей области. Поскольку в нелинейном уравнении Шредингера полная масса сохраняется, в (2) ей отвечает медленно меняющаяся величина. Возникает вопрос, нельзя ли хотя бы в каких-нибудь аспектах характеризовать всю систему, а не только отдельный пик, при помощи нескольких параметров порядка?

3. Основными кандидатами на эту роль будут масса, энергия и импульс – то, что сохраняется в рассматриваемом нелинейном уравнении Шредингера.

4. Для энергии пика тоже можно попытаться выписать приближенное соотношение, но оно оказывается не слишком информативно. Можно только утверждать, что когда полуширина сокращается настолько, что , начинается быстрый рост энергии. На основании численных результатов и некоторых приближенных рассуждений можно получить, что максимальная энергия имеет порядок величины econst/. При малых L изменение оказывается очень большим, поэтому в течение некоторого небольшого интервала времени вблизи момента достижения пиком максимума энергия не будет меняться медленно.