4.2. Особенности уравнения Хатчинсона с двумя запаздываниями и с малой миграцией - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Рассмотрим уравнение

,  (28)

где h > 1,  Î (0;1),  >> 1.

Сначала отметим что при  = 0 динамика (28) одна и та же для каждого  Î (0;1). При этом имеется устойчивое медленно осциллирующее периодическое решение, для которого верны формулы (26).

При  > 0 существует устойчивое периодическое решение N(t,), период которого близок к 1+h при  ® ¥. Структура этого решения существенно зависит от величины h.

Пусть сначала 1 < h < 2. В этом случае N(t,) имеет на отрезке длины периода один всплеск, длительность которого близка к 1.

При условии 2 < h < 3 на периоде имеется два всплеска функции N(t,) длительностями, близкими к 1 и h‑2 (на каждом из этих всплесков достигаются экспоненциально большие по  значения), а расстояния между всплесками близки к 1.

Если 3 < h < 4, то на периоде имеется тоже два всплеска. Длительность каждого из них близка к 1, а расстояния между последовательными всплесками принимают поочередно два значения: » 1 и » h‑2.

В случае 4 < h < 5 на периоде имеем три всплеска, длительности двух из них » 1, а длительность третьего » h‑4. Расстояния между всплесками близки к 1. При 5 < h < 6 – тоже три всплеска, длительности которых » 1, но временные расстояния между всплесками последовательно принимают значения 1+o(1); 1+o(1) и h‑2+o(1) и т.д.

Рис. 3. Решения уравнения (28) при =3, =0,1 (вверху) и =5, =0,1 (внизу)

Выводы.

1.        Без малого  мы имеем простейший цикл с одним всплеском и длительным участком рискованного существования (N » 0), а с малым воздействием, во-первых, увеличивается минимум численности (т.е. понижается риск), и во-вторых, резко уменьшается длительность промежутка времени, где она мала (см. рис. 3)

2.        Наличие нескольких запаздываний, т.е. учет возрастной структуры, при малых  приводит к усложнению динамических свойств.

Отметим, что эффекты, связанные с большими изменениями вследствие малых воздействий, характерны для многих задач, в которых существенную роль играет запаздывание. В этой связи отметим важные задачи биологии, радиофизики, лазерной физики, медицины, химии, теории нейронных сетей и др.

Обратим особое внимание на задачу о динамике ядерного реактора Система дифференциально-разностных уравнений

возникает при описании работы ядерного реактора. Здесь N1(t) – мощность реактора; N0 > 1 – её стационарное значение; T(t) – изменение температуры; a1, b1 – величины, пропорциональные мощностному и пропорциональному коэффициентам реактивности; r1 > 0 – характеризует суммарную теплоемкость;  – запаздывание; t – время.

По смыслу задачи параметр b = b1N0 является достаточно большим. Используя асимптотические методы, можно показать, что рассматриваемая система имеет устойчивое периодическое решение. Оказалось, что его период относительно велик (» b/a) и что мощность в течении длительного отрезка времени принимает относительно небольшие значения, а затем на за время порядка  происходит резкий всплеск значений до N1 » b/a.