Анастази А. Дифференциальная психология.

36 Дифференциальная психология *
Таблица 1 ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАННЫХ 1000 СТУДЕНТОВ КОЛЛЕДЖА, ТЕСТИРОВАНИЕ УМЕНИЯ ПРИМЕНЯТЬ КОД. (ДАННЫЕ ИЗ АНАСТАЗИ, 2, с. 34.)
Класс—интервал Частота
52-55 48-51 44-47 40-43 36-39 32-35 28-31 24-27 20-23 16-19 12-15 8-11 1
1
20 73 156 328 244 136 28
8
3
2
N = 1000

Рис. 2. График распределения: полигон частот и гистограмма. (Данные из таблицы 1.)

Распределение индивидуальных различий 3 7
Мы можем продолжить описание группы, определив ее центральную тенденцию. Если мы захотим получить наиболее типичное значение, которое характеризовало бы группу в целом, то необходимо определение главной тенденции. Одним из наиболее известных способов является вычисление средней величины, получаемой при сложении всех показателей и делении полученной суммы на число случаев. Такая величина называется средним арифметическим.
Другим способом определения главной тенденции, часто используемым в психологии, является медианный. Если все результирующие значения расположить по порядку в соответствии со своей величиной, то медианой будет результат, расположенный ровно посередине ряда. Для больших групп гораздо легче вычислить медиану непосредственно на основе частотного распределения. В этом случае медианная точка разделяет распределяемое множество таким образом, что половина случаев будет находиться выше нее, а другая половина — ниже. Еще одним способом измерения главной тенденции, иногда встречающимся в психологических исследованиях, является определение моды, или наиболее часто встречающегося показателя. Его так же можно найти на основе частотного распределения, выявив ту точку интервала, которая имеет самую большую частоту. Заметим, что мода соответствует самой высокой точке графика. Для распределения, данного в таблице 1 и на рисунке 2, среднеарифметическое значение составляет 32,37, медианное — 32,46 и значение моды — 33,5.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Читатель наверняка уже обратил внимание на особенности распределения, представленного в таблице 1 и на рисунке 2. Большинство случаев расположены в центре ряда, а приближаясь к крайним значениям, происходит долгий плавный спад. На графике нет разрывов — нет классов, которые были бы отделены друг от друга. Кроме этого, график по обе стороны симметричен; это означает, что если его разделить вертикальной линией по центру, то получившиеся две половинки окажутся примерно одинаковыми. Такой график распределения своей формой похож на коло-

кол, это так называемое «нормальное распределение», которое чаще всего встречается при измерениях индивидуальных различий. В своем идеальном виде нормальное распределение изображено на рисунке 3.
Понятие нормального распределения в статистике используется уже давно. Вероятность какого-либо события представляет собой частоту его наступления, зафиксированного очень большим количеством наблюдений. Эта вероятность представляет собой определенное соотношение, точнее, дробь, числителем которой является ожидаемый результат, а знаменателем — все возможные результаты. Таким образом, вероятность, или шансы, того, что две монеты выпадут одной и той же стороной, например решкой, будет один к четырем, или '/4. Это следует из того факта, что существует всего четыре возможные комбинации выпадения монет РР, РО, ОР, ОО, где Р — решка, а О — орел. Одна из четырех, РР, означает выпадение только решек. Вероятность выпадения двух орлов будет также составлять '/4, а вероятность выпадения решки какой-либо одной монеты при выпадении орла другой составит один к двум, или '/2. Даже если число монет увеличить, скажем, до 100, и количество возможных комбинаций станет очень большим, то
мы по-прежнему сможем математически определить вероятность возникновения каждой комбинации, например, выпадения всех решек или 20 решек и 80 орлов. Эти вероятности, или ожидаемую частоту выпадений, можно изобразить графически описанным выше методом. Если число монет будет очень велико, то построенный график окажется колокольной формы, то есть графиком нормального распределения.
На рисунке 4 можно найти теоретический и фактический

0 1 2 3 4 5 6 Количество выпадений решек
Рис. 4. Теоретическое (пунктир, линия) и фактически наблюдаемое (сплошная линия) распределение количества выпадений решек в 128 случаях подбрасывания шести монет. (Данные из Гилфорда, 10, с. 119.)

Рис. 3. График нормального распределения

Распределение индивидуальных различий 3 9
графики, показывающие количество выпадения решек в 128 случаях подбрасывания шести монет. При каждом броске число решек, естественно, может варьироваться от 0 до 6. Чаще всего будет выпадать комбинация из трех решек (и трех орлов). Частота возрастает или понижается, когда число решек становится меньше или больше трех. На рисунке 4 теоретически вычисленные вероятности обозначены пунктирной линией, в то время как реальная частота, полученная в результате 128 последовательных подбрасываний шести монет, начерчена непрерывной линией. Необходимо заметить, что ожидаемые и фактически полученные результаты достаточно близки друг к другу. Чем больше количество наблюдений (или бросков), тем больше вероятность их совпадения.
Чем большее количество монет подбрасывается, тем ближе будет график теоретически ожидаемого распределения к графику нормальной вероятности. Говорят, что результаты, получаемые при подбрасывании монет или бросании игральных костей, зависят от «случайности». Под этим подразумевается, что результат определяется большим количеством независимых факторов, влияние которых учесть невозможно. Высота, с которой бросают монету или игральную кость, ее вес и размер, подкрутка, которую делает бросающий, и многие другие подобные факторы определяют в каждом отдельном случае, какой стороной упадет монета. График нормального распределения был впервые построен математиками Лапласом и Гауссом в связи с исследованиями ими игры случая, распределения отклонений в наблюдениях и других типов случайных изменений.
Уже в девятнадцатом веке бельгийский статистик Адольф Кутелет первым применил понятие нормального распределения к исследованию качеств человека (ср. 4). Кутелет обратил внимание на то, что определенные измерения роста, объема грудной клетки армейских призывников распределялись в соответствии с графиком вероятности колокольной формы. На основании сходства этого графика с данными человеческой изменчивости, он построил теорию, согласно которой такая человеческая изменчивость имеет место, когда природа стремилась воплотить «идеал», или норму, но в силу различных обстоятельств потерпела неудачу. Иными словами, человеческий рост, вес, уровень интеллектуального развития зависят от огромного количества не-