ТЕОРЕМА О ДЕДУКЦИИ


ТЕОРЕМА О ДЕДУКЦИИ
теорема дедукции, – одно из важнейших содержательных утверждений математической логики, определяющее связь между логически правильными (аподиктическими) рассуждениями (или умозаключениями, или выводами) и законами (доказуемыми формулами) логики, лежащими в их основе. Прообраз Т. о д. был известен еще стоикам (см. J. B. Mates, Stoic logic, Berk. – Los Ang., 1953) в виде общего принципа связи между выводимостью и импликацией. Как (металогическая) теорема логических исчислений Т. о д. была сформулирована независимо франц. математиком Ж. Эрбраном (1928) и А. Тарским (1930) и доказана Эрбраном (1930) для исчислений, включающих положительное импликативное исчисление высказываний Гильберта [см. Положительная логика, аксиомы 2.1) и 2.2)]. Формулировки Т. о д. зависят, вообще говоря, от того как в том или ином исчислении определяются понятия "выводимость" и "импликация"; поэтому всегда следует иметь в виду тот или иной в а р и а н т Т. о д.
Интуитивно ясным примером Т. о д. для исчисления высказываний может служить следующая ее формулировка: (1) если из аксиом исчисления и к.-л. допущения (гипотезы) А, добавленного к числу аксиом, по правилам исчисления выводимо В, то в этом исчислении доказуемо (выводимо только из аксиом) условие (импликация) A?B, означающее, что если доказано А, то доказано и В. Др. словами, данная формулировка Т. о д. означает, что при наличии отношения логич. следования между любой (произвольной) посылкой А и заключением В, доказуемость В релятивизируется условием доказуемости А, или, что то же, доказательство В сводится (см. Сводимость) к доказательству А. Идея такого сведения, являющегося отражением а н а л и т и ч е с к о г о процесса решения матем. и логич. задач, очевидна: после того как установлено, что В является следствием А – на что указывает факт выводимости В из А, – совершенно ясно, что В конечно же будет доказано, если удастся показать, что А – теорема исчисления. Это вытекает из обратного утверждения, отражающего уже с и н т е т и ч е с к у ю часть решения: по правилу modus ponens, если А доказуемая формула, то из A и доказанного в силу Т. о д. утверждения A?B следует, что В доказано. Поэтому Т. о д. часто называют обращением modus ponens и, основываясь на указанной взаимной связи между выводимостью и импликацией, формулируют так: (2) необходимым и достаточным условием для категорического утверждения А1, А2, ..., Аn В (т.е. для утверждения о выводимости в нек-ром исчислении по его правилам заключения В из посылок А1, А2, ..., Аn ) является логическая истинность (доказуемость в этом исчислении) условного утверждения А1?(А2?(...?(Аn ?B)...)). Эта формулировка Т. о д. фиксирует ту, замеченную еще стоиками, особую роль, к-рую в логике высказываний играют ее законы при определении (проверке) логич. правильности наших рассуждений: относительно любого утверждения о выводимости заключения В из посылок А1, А2, ..., Аn вопрос о его истинности решается разысканием среди законов логики закона А1?(А2?(...?(Аn ?B)...)).
Различение понятий "выводимость" и "доказуемость" (соответственно "вывод" и "доказательство") в приведенных выше формулировках Т. о д. восходит к традиц. различению между понятиями "формальная правильность" и "истинность". Пусть В выведено из к.-л. допущений (гипотез) А1, ..., Аm. Доказано ли B? В общем случае очевидно нет, потому что допущения могут быть любыми, в том числе и ложными, а понятие логич. вывода определяется, как правило, так, что из лжи можно вывести любое, в том числе и ложное, заключение. Для того чтобы В было доказано, необходимо, чтобы В следовало из заведомо истинных (или принимаемых за истинные) посылок.
Т. о д. имеет место только для исчислений логистического типа, в к-рых вывод опирается на "абсолютные" допущения (см. Посылка) – аксиомы (или схемы аксиом). Это объясняется, конечно, не наличием слова "доказуема" в приведенных формулировках теоремы [этого может и не быть: напр., С. К. Клини (1952) и А. Чёрч (1956) используют др. терминологию, так что в их формулировках Т. о д. выражает связь между выводимостью одной формулы и выводимостью (же) нек-рой др. формулы], а просто тем, что Т. о д. – это теорема, т.е. утверждение, доказываемое на основе аксиом. В исчислениях без аксиом (в натуральных исчислениях) вместо Т. о д. вводится в качестве основного (или обосновывается в качестве производного) правило введения и м п л и к а ц и и – в нек-ром смысле аналог Т. о д.: если общий принцип (идею), выражаемый Т. о д., рассматривать независимо от того, что это принцип (идея) теоремы, то его можно постулировать в форме правила (Г. Генцен, С. Ящьковский, 1934), к-рое равносильно названным выше аксиомам 2.1) и 2.2) положительной логики.
Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М., 1948, с. 173–79; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ.. М., 1957, с. 84–91; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 80, 186, 287; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961, с. 35–37, 43–44; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959, с. 82–85, 221–25; Столл Р. Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., М., 1968, с. 171–72; Линдон Р., Заметки по логике, пер. с англ., М., 1968, с. 72–73; Herbrand J., Recherches sur la theorie de la demonstration, Warsz., 1930; Pogorzelski W. A., Przeglad twierdzen о dedukcji dla rachunkow zdan, "Studia Logica", 1964, t. 15.
M. Новосёлов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.


Просмотров: 2836
Категория: Словари и энциклопедии » Философия » Философская энциклопедия





Другие новости по теме:

  • "ЧТО ДЕЛАТЬ?"
  • “НОВЫЙ ОРГАНОН, ИЛИ ИСТИННЫЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ИСТОЛКОВАНИЯ ПРИРОДЫ”
  • “РАССУЖДЕНИЕ, ВЫНОСЯЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СВЯЗИ МЕЖДУ РЕЛИГИЕЙ И ФИЛОСОФИЕЙ”
  • “ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ?”
  • «НОВЫЙ ОРГАНОН, ИЛИ ИСТИННЫЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ИСТОЛКОВАНИЯ ПРИРОДЫ»
  • «СУМЕРКИ ИДОЛОВ, или Как философствуют молотом»
  • «ЧТО ДЕЛАТЬ»
  • «ЧТО ТАКОЕ ДРУЗЬЯ НАРОДА И КАК ОНИ ВОЮЮТ ПРОТИВ СОЦИАЛДЕМОКРАТОВ»
  • ВЕЧНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ ТОГО ЖЕ САМОГО, ИЛИ ВСЕХ ВЕЩЕЙ
  • дедукции теорема
  • ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА
  • знание-как и знание-что
  • Или, Или. лама савахфани
  • ИМЕТЬ ИЛИ БЫТЬ?
  • История как проблема логики
  • КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ
  • Новый органон, или Истинные указания для истолкования природы
  • НОВЫЙ ОРГАНОН, ИЛИ ИСТИННЫЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ИСТОЛКОВАНИЯ ПРИРОДЫ
  • ПРОМИТТОР Планета, к которой может быть определена дирекция сигнификатора, в результате чего образуется аспект между прогрессивным положением сигнификатора и положением при рождении промиттора, обещающий определенные события или условия, соответствую
  • СМИРЕНИЕ, покорность-добродетель, которая может возникнуть от сознания, что совершенство
  • СХЕМА АКСИОМ
  • Такие подростки, как правило, зависимы от своих родителей и для них характерны социальная и психологическая незрелость и социальная изоляция.
  • ТЕОРЕМА ДЕДУКЦИИ
  • ТРОН Некоторые астрологи, более склонные к преувеличению, чем к точному соответствию и ясности, говорят о планете на троне, если она находится в знаке, которым управляет. В более древнем и более логичном варианте это планета, расположенная в той част
  • Философия науки. Связь между наукой и философией
  • формальная логика или логика
  • Фрейм как если бы
  • Фрейм как если бы
  • Что значит быть летучей мышью?
  • ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ?



  • ---
    Разместите, пожалуйста, ссылку на эту страницу на своём веб-сайте:

    Код для вставки на сайт или в блог:       
    Код для вставки в форум (BBCode):       
    Прямая ссылка на эту публикацию:       






    Данный материал НЕ НАРУШАЕТ авторские права никаких физических или юридических лиц.
    Если это не так - свяжитесь с администрацией сайта.
    Материал будет немедленно удален.
    Электронная версия этой публикации предоставляется только в ознакомительных целях.
    Для дальнейшего её использования Вам необходимо будет
    приобрести бумажный (электронный, аудио) вариант у правообладателей.

    На сайте «Глубинная психология: учения и методики» представлены статьи, направления, методики по психологии, психоанализу, психотерапии, психодиагностике, судьбоанализу, психологическому консультированию; игры и упражнения для тренингов; биографии великих людей; притчи и сказки; пословицы и поговорки; а также словари и энциклопедии по психологии, медицине, философии, социологии, религии, педагогике. Все книги (аудиокниги), находящиеся на нашем сайте, Вы можете скачать бесплатно без всяких платных смс и даже без регистрации. Все словарные статьи и труды великих авторов можно читать онлайн.







    Locations of visitors to this page



          <НА ГЛАВНУЮ>      Обратная связь