Больцано отчетливо увидел законность и существенную необходимость понятия актуальной
бесконечности. В своей небольшой книге «Парадоксы бесконечного», где он
значительно приумножил число парадоксальных следствий, которые при желании
могут быть извлечены из этого понятия, он одновременно показал чисто иллюзорную
природу так называемых противоречий, введя понятие
эквивалентности, которое в области бесконечного соответствует понятию
равенства применительно к конечным числам и суммам. Действительно,
утверждение, согласно которому конечное число, отличное от нуля, равно своей
половине, явно абсурдно и противоречиво, чего не скажешь об утверждении, что
некоторое бесконечное целое эквивалентно одной из своих частей. Так, например,
число конечных чисел с необходимостью является
бесконечным, и поскольку эти числа должны
рассматриваться как данные еще до начала самой процедуры их пересчета, то их
число является также актуально бесконечным. И однако, это
число не превосходит числа всех четных или простых чисел, в чем легко
убедиться, установив взаимно-однозначное соответствие между множеством всех
чисел и каждым из множеств этих (четных и простых) чисел. Точно так же о числе
всех рациональных чисел или о числе всех алгебраических чисел нельзя сказать,
что оно «больше» числа всех чисел. Все эти множества эквивалентны друг другу,
точно так же, как, например, множество всех алгебраических чисел эквивалентно
множеству алгебраических чисел, заключенных между
0 и 1 или, в общем случае, заключенных между двумя любыми заданными пределами.
Различие между равенством и эквивалентностью позволяет понять, почему
возможность установления взаимно-однозначного соответствия между всеми точками
двух различных отрезков некоторой траектории («Ахиллес» и «Стадии») не влечет за собой равенства этих отрезков.
Эквивалентность не включает в себя равенство: первое отношение имеет место в
случае бесконечного, второе, наоборот, лишь в случае конечного.