Страница 6 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука

Состояния элементов системы определяют на основе признаков, ве­личина ко­то­рых отличает их друг от друга. Хаос данного состояния сис­темы из мно­гих элементов также определён по отношению к конк­рет­ным приз­накам. В таком виде хаос может быть количественно описан энт­ропией как функ­цией состояния системы из мно­гих элементов – S(),  где   есть число возможных состояний элемен­тов сис­темы, отлича­ю­щих­ся ве­личиной признака.

            Для того, чтобы определить число   возможных состояний эле­мен­тов системы, надо выделить признак, величина которого отличает состояния системы друг от друга. Далее надо задать ячейку в виде ин­тер­вала изменения независимых переменных задачи, которому сопо­с­тав­ляется ве­ли­чина данного признака. Следующим шагом методами ком­­бинато­ри­ки под­счи­тывается число всех возмож­ных комбинаций рас­пре­деления эле­ментов системы по этим ячейкам.

Мысленно переставляя нумерованные молекулы по ячейкам, под­счи­тывают число их возможных перестановок . Это и есть число воз­мож­ных состояний элементов системы. В этом примере – молекул газа.

Если в общем случае системы из многих элементов известна функ­ция  , описывающая число возможных состояний элементов системы, отличающихся величиной признака, то энтропия определена в виде лога­риф­мической функции:

.                                            (1.1)

            Множитель  Kk  в этой формуле указывает, какие именно признаки отличают состояния системы, и является адиабатическим инвариантом данной системы – величиной, которая есть минимальная дискретная по­с­то­­ян­ная в системе, не обменивающейся энт­ро­пией с окружением.

            Число возможных состояний системы     в определении энтропии (1.1) может быть заменено вероятностями состояний системы . Тогда фор­мула, выражающая энтропию как функцию состояния системы есть:

.                                          (1.1а)

            Знак минус в этом случае появляется потому, что по определению всегда числа сос­тоя­ний  ,  а вероятности  , то есть знак минус в (1.1а) сохраняет положительную определённость энтропии.

            Число   состояний элементов системы, содержащей много эле­мен­тов, как правило, огромно. Однако логарифмическая функция от них растёт очень медленно. Поэтому в природе вряд ли можно встретить зна­чения ln, которые превышали бы пару сотен. Ведь такому значению ло­­­га­рифма соответствует число примерно со ста (!) значащими цифрами. Далее в тексте, если специально не оговорено, ссылка на (1.1) рав­но­правно подразумевает и (1.1а).

Приведенное выше определение энтропии общепринято. Оно под­робно рассмат­ри­вается в учебниках физики и термодинамики (см., на­при­­­мер [15]). Сфор­му­лировано оно Л. Больцманом [17] и записано в ви­де (1.1) М. План­­ком. Запись энтропии (1.1а) с помощью вероятностей сос­тояний   использовал Дж. Гиббс [18].

В определениях (1.1) и (1.1а) энтропия понимается как характери­с­ти­ка максимума вероятности состояния системы – как функция, описы­ва­ю­щая наиболее вероятное состояние системы.

Эти определения должны быть дополнены условиями нормировки энтропии, которые относят определения энтропии к полному числу N  элементов сис­темы и к её полной энергии (см., например, [15], а также по отношению к этой работе [11]).

            Многим более привычно определение энтропии в виде прираще­ния, записанного с помощью пере­дан­­ного системе количества тепла  Q  и тем­пературы  (интегрирующего множителя) в виде:

.                                                (1.2)

            Такое определение энтропии не противоречит (1.1), но является частным случаем для конкретных теп­ло­вых за­дач.

            Поясню поня­тие ади­а­батического инвари­ан­та. Оно хорошо из­вест­но в физике. Его ввёл в начале ХХ века П. Эрен­фест [19].

Если математический маятник (рис. 1.1) сделать с подвесом на ни­ти, которая перекинута через блок, и бес­ко­нечно мед­лен­но тянуть за ко­нец этой нити, то длина маятника и соот­вет­ственно его частота будут из­меняться. При этом внешняя сила совершает работу, которая изменяет энер­гию колебаний маятника (и его частоту) строго непрерывно в мате­ма­тическом смысле. Такой процесс является адиа­батическим, а отноше­ние энергии E  ко­ле­ба­ний маятни­ка к его частоте  будет ос­таваться посто­ян­ным:

E/ = const.                                              (1.3)

Это отношение есть адиабатический инвариант сис­те­мы. В част­­но­сти, фун­­даментальная для физики пос­то­ян­ная Планка h есть адиа­бати­чес­­кий ин­вариант для “ма­ятников” атом­ных мас­ш­та­бов. Для тепловых про­цес­сов адиабатичность име­­ет частный смысл – ади­абатическая система не обме­ни­вается с окружением ко­ли­­чест­­ва­ми тепла. Сущест­во­ва­ние такого частного слу­чая не проти­воречит опре­де­ле­нию Эренфеста.

В силу определения единицы измерения энтропии как адиабати­чес­кого инварианта системы её величина есть характерный размер сис­темы в фазовом пространстве. Нормировка энтропии задаёт связь энер­гии системы и единицы измерения её размера в фазовом прост­ранстве.