ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

- рассуждение, в ходе которого из к.-л. исходных суждений - посылок - с помощью логических правил получают заключение - новое суждение. Напр., из суждений "Все люди смертны" и "Кай - человек" мы можем вывести с помощью правил простого категорического силлогизма новое суждение: "Кай смертен".

В символической логике вывод определяется более строго - как последовательность высказываний или формул, состоящая из аксиом, посылок и ранее доказанных формул (теорем). Последняя формула данной последовательности, выведенная как непосредственное следствие предшествующих формул по одному из правил вывода, принятых в рассматриваемой аксиоматической теории, представляет собой выводимую формулу. Поскольку каждая формальная система имеет свои собственные аксиомы и правила вывода, постольку во всякой системе понятие вывода носит специфический характер.

В качестве примера приведем определение понятия вывода для следующей формальной системы. Алфавит системы включает в себя бесконечный набор символов:

р, q, r, s, ...; p1 q1, r1, s1, ...; p2q2, r2, s2, ... ,

которые называются пропозициональными переменными. К ним добавляются следующие четыре символа:

(,),->, ~

левая и правая скобки, знак импликации и знак отрицания. Правила построения формул:

1) всякая пропозициональная переменная есть формула;

2) если А и В суть формулы, то (А->В) есть формула;

3) если A есть формула, то ~ A есть формула.

В качестве аксиом можно принять следующие три формулы:

а) s-> (p->s);

б) (s->(p->q))->((s->p)->(s->q));

в) (~p->~q)->(q->p).

В качестве правил вывода принимаются следующие два

правила:

1) Правило подстановки: если формула А получается из формулы А путем замены некоторой переменной повсюду, где она встречается в Л, на некоторую формулу С, то из A следует А&.

2) Правило отделения: из формул вида (А->В) и A следует формула В.

Теперь можно определить понятие вывода. Последовательность формул A1, ..., Ат называется выводом формулы A из посылок Г1 ..., Гт, если каждая формула этой последовательности есть либо одна из аксиом системы, либо одна из посылок Г1, ..., Гт, либо получена из каких-то предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода данной системы, а формула А есть последняя формула данной последовательности.

Формулу A, для которой существует вывод из посылок Г1, ..., Гт называют выводимой из Г1, ..., Гт. Утверждение о выводимости формулы A из посылок Г1, ..., Гт записывается так: Г1, ..., Гт |-A и читается: "Формула A выводима из посылок Г1, ..., Гт". Безотносительно к специфике формальной системы отношению логической выводимости (|-) присущи следующие свойства:

1) Г |- Е,.если Е входит в список посылок Г.

2) Если Г |- Е, то Г, ? |- Е для любого перечня формул Д.

3) Если Г |- Е, то ? |- Е, когда ? получено из Г путем перестановки формул Г или опускания таких формул, которые тождественны остающимся формулам.

4) Если Г |- Е, то ? |- Е, когда ? получено из Г за счет опускания любых формул Г, которые доказуемы или выводимы из остающихся формул Г.